给 MFE 学生的 AI 数学地图：你已经会了一大半
给 MFE 学生的 AI 数学地图：你已经会了一大半¶
讲座前一天¶
明天下午，我会在 UIUC 金融工程硕士项目（MSFE）的讲座系列做一个报告。
邀请我的是项目主任冯黎明教授。
题目是 AI in Quantitative Finance: What MFEs Need to Know Now。
幻灯片快结束的地方，有一页叫 You Already Know the Math，只放了一张两列的表：
| 你学过的 | 现在叫作 |
|---|---|
| 二项分布、Condorcet 陪审团定理 | self-consistency 投票 |
| 逻辑回归、极大似然 | 微调、DPO、项目反应理论 |
| 低秩分解 | LoRA |
| 浮点误差 | 大模型输出的不确定性 |
| 序贯检验 | 无标签漂移报警 |
下面一行字：
AI 没有取代数学，AI 把数学工业化了。
做这一页的时候，我想的是 Zoom 屏幕另一端的学生。
其实也不只是 UIUC 的学生。这篇日记写给所有在读、或者准备读 MFE 的同学。
有的同学刚入学，第一学期正在学统计、计算和机器学习；有的已经学完了随机微积分，开始准备毕业找工作。
可是打开一篇扩散模型的论文，或者一份 LoRA 的说明，觉得一切都要从头来。
其实不用从头来。
但也不是什么都能直接搬过去。
这件事我自己走过一遍。
2012 年到 2016 年，我一边工作，一边花了四年读完一个金融工程硕士。
MFE 读到一半，2014 年，我在 Coursera 上了第一门数据科学的课，开始学大数据。
2018 年，又跟着吴恩达的 Neural Networks and Deep Learning 学深度学习。
一边是随机微积分，一边是机器学习。学着学着发现，两边很多东西底下是同一个东西：协方差矩阵、梯度、动态规划、布朗运动。名字不同，记号不同，推导常常一样。
后来写《Mathematics for AI》，是写给学机器学习的人的，不是一本量化金融教材。但那几年的感觉一直在。
所以我画了两个圆。
左边是金融工程，右边是 AI。
中间那一块，比很多人以为的大。
一、中间：两边共用的数学¶
先说线性代数。
量化做蒙特卡洛，要生成相关的布朗运动路径，把协方差矩阵做一次 Cholesky 分解，$\mathbf{z} = L\boldsymbol{\epsilon}$。
VAE 采样用的，是同一个分解。
收益率曲线做 PCA，前三个主成分是水平、斜率、曲率。LoRA 把一个大矩阵的更新写成两个瘦矩阵的乘积，$\Delta W = BA$，秩 $r$ 远小于维数 $d$。
这些都在书的第 2、7、8 章。
再说微积分和优化。
希腊值就是导数。$\Delta$ 是一阶，$\Gamma$ 是二阶，delta-gamma VaR 就是一个二阶泰勒展开。反向传播是链式法则。
Markowitz 组合是一个二次规划，解它用的是 KKT 条件。训练神经网络，用的是同一章里的梯度下降。
第 11、12 章。
概率和信息论在第 13、14 章：高斯分布、贝叶斯、极大似然、KL 散度。
动态规划在第 15 章。美式期权从到期日往回倒推，每一步比较“现在行权”和“继续持有”，这就是 Bellman 方程。强化学习里的值迭代，写出来是同一个式子。
最后是随机微积分，第 19 到 21 章。
布朗运动、伊藤引理、几何布朗运动、Euler–Maruyama 离散，金融工程学生都熟。书里的 OU 过程，换个名字就是 Vasicek 短期利率模型。第 21 章的 Fokker–Planck 方程，就是 Kolmogorov 前向方程，Dupire 的局部波动率公式正是从它推出来的。
这里有一座桥，我想多说两句。
定价的时候，我们用 Girsanov 定理把漂移从 $\mu$ 换成无风险利率 $r$，从真实测度 $\mathbb{P}$ 走到风险中性测度 $\mathbb{Q}$。所以 Black–Scholes 公式里没有 $\mu$。
扩散模型生成图片，要把加噪的过程倒过来跑。倒过来的 SDE 是
漂移里多出来一项，就是得分函数 $\nabla \log p_t$。这一项的来历，也是一次测度变换。
一个能讲清楚 Black–Scholes 里为什么没有 $\mu$ 的学生，读第 19 章会比计算机系的同学快很多。
按章节归一下：
| 数学 | 章节 | 金融工程里 | AI 里 |
|---|---|---|---|
| 协方差、Cholesky、谱分解 | 2、7 | 相关路径模拟；修复非正定相关矩阵 | VAE 重参数化；高斯过程 |
| PCA、SVD、低秩 | 7、8、9 | 收益率曲线三因子；统计因子模型 | 嵌入、LoRA、压缩 |
| 最小二乘、QR、伪逆 | 4、8 | Longstaff–Schwartz 回归；曲线拟合 | 线性探针；岭回归 |
| 梯度、雅可比、海森 | 11 | 希腊值；delta-gamma VaR | 反向传播；二阶方法 |
| 凸优化、对偶、KKT | 12 | 均值-方差组合；模型校准 | 训练目标；带约束的优化 |
| 高斯、贝叶斯、极大似然 | 13 | 对数正态价格；参数估计 | 似然与先验；扩散模型的噪声 |
| 熵、KL、Fisher 信息 | 14 | 最小熵校准；模型风险 | 交叉熵损失；ELBO；自然梯度 |
| 马尔可夫链 | 14、15 | 信用评级迁移矩阵；状态切换 | token 采样；MCMC |
| Bellman、动态规划 | 15 | 美式期权；最优执行 | 值迭代；Q-learning；RLHF |
| 蒙特卡洛、重要性采样 | 15、18 | 路径依赖期权；尾部风险 | 策略梯度；采样 |
| 布朗运动、伊藤引理、GBM、OU | 19、20 | Black–Scholes；Vasicek；路径模拟 | 扩散模型的前向加噪 |
| 鞅、Girsanov（入门） | 19 | 风险中性定价 | 逆时 SDE |
| Fokker–Planck | 21 | 转移密度；Dupire | 密度演化；概率流 ODE |
| 线性状态空间、Kalman | 9、20 | 隐含因子滤波 | 状态空间序列模型 |
二、右边：AI 独有的部分¶
不少 MFE 项目已经把机器学习放进了必修课，比如 UIUC 第一学期就有 FIN 553 金融机器学习。但第 16 到 18 章——变分推断、得分函数、Langevin 采样——在大多数课表里还找不到对应。
但它们已经在往银行里走。
XVA 要算成千上万个敏感度，现在常用 AAD，伴随算法微分。它就是反向模式的自动微分，第 11 章讲 Fréchet 导数和伴随的那一节。
深度对冲，是用随机梯度下降训练一个对冲策略。
压力测试需要成批的收益率曲线和波动率曲面情景，有人开始用扩散模型生成。
交易对手之间、供应链上下游之间是一张图，图神经网络的数学从第 7 章的谱分解开始。
研报和年报的检索，靠的是嵌入向量和内积。
我的团队里有一位量化金融博士，Andrey。给他一个按揭贷款组合，他不会上来就跑 XGBoost，也不会只盯着提前还款的 S 曲线。他先想清楚经济机制，再用机器学习估计借款人层面的提前还款概率，放回现金流引擎，在一致的利率情景下贴现，算 OAS 和风险敏感度，做压力测试，上线以后接着监控。
经典模型做主，机器学习只加一个有界的修正。
这样的人，左右两个圆都要懂一些。
三、左边：书里没有的金融工程数学¶
这本书讲的是机器学习背后的数学。金融的内容不多。
Black–Scholes 只出现了一次，是作为几何布朗运动的例子。Girsanov 是一段注释。Kalman 滤波只在 LDL 分解那一节提了一句。
更多的内容，书里根本没有。写这份清单之前，我在书稿里逐个搜过。
下面按 MFE 课程里遇到它们的顺序列出来。
A. 概率论基础¶
- 测度论概率：$\sigma$-代数，作为信息的滤子（filtration），作为投影的条件期望
- Radon–Nikodym 导数和等价测度（书里用到了测度变换，但没有从头搭）
- 深入一点的鞅论：可选停时定理、Doob 不等式、鞅表示定理
- 停时、强马尔可夫性
B. 无套利定价¶
- 无套利和资产定价基本定理：$\mathbb{Q}$ 的存在与唯一，完备与不完备市场
- 计价单位和计价单位变换：远期测度、互换测度、年金测度
- 二叉树、三叉树（Cox–Ross–Rubinstein）
- Black–Scholes–Merton 偏微分方程的复制推导，希腊值和对冲
- Feynman–Kac 公式
- 最优停时和自由边界：美式、百慕大期权
C. 布朗运动以外的随机过程¶
- 泊松过程、跳跃-扩散（Merton、Kou）
- Lévy 过程（Variance Gamma、NIG、CGMY），Lévy–Khintchine 公式
- 随机波动率（Heston、SABR），局部波动率（Dupire）
- 粗糙波动率，分数布朗运动
- Hawkes 过程：订单流的聚集
- 随机控制和 HJB 方程（书里只讲到离散 MDP 和连续时间马尔可夫链）
- Malliavin 微积分
D. 利率、固定收益、信用¶
- 曲线构建：bootstrap、样条、多曲线和 OIS 贴现
- 短期利率模型：Vasicek、CIR、Hull–White（Vasicek 就是书里的 OU 过程，但债券定价那部分没有）
- HJM 框架，LIBOR/SOFR 市场模型
- 久期、凸性、关键利率 DV01，计息和复利惯例
- 信用风险：Merton 结构化模型、强度模型、CDS 定价、CVA/XVA
- Copula：高斯、$t$、阿基米德族
E. 定价的数值方法¶
- 有限差分解定价 PDE：显式、隐式、Crank–Nicolson，稳定性，边界条件，三对角求解
- 傅里叶定价：Carr–Madan FFT、COS 方法
- 蒙特卡洛方差缩减：对偶变量、控制变量、分层抽样、矩匹配
- 拟蒙特卡洛：Sobol 序列、布朗桥
- 最小二乘蒙特卡洛（Longstaff–Schwartz）
- 路径导数法和似然比法求希腊值（似然比法和第 17 章的得分函数是近亲）
- 求根和数值积分：Brent 法求隐含波动率，Gauss–Hermite 积分
- 波动率曲面的插值和无套利平滑（SVI 一类）
F. 统计和计量¶
- 时间序列：AR、MA、ARIMA，单位根，协整
- 波动率模型：ARCH、GARCH 一族，已实现波动率
- 假设检验：$t$ 检验、$F$ 检验，Newey–West 标准误，回测里的多重检验
- 厚尾和极值理论：Student-$t$，GPD，超阈值法
- 协方差收缩和随机矩阵去噪：Ledoit–Wolf、Marchenko–Pastur
- Bootstrap 重抽样
G. 组合、风险、交易¶
- 均值-方差理论，有效前沿，CAPM，APT
- 因子模型：Fama–French，Barra 一类基本面模型
- Black–Litterman，鲁棒组合优化
- 风险度量：VaR、ES，一致性公理，VaR 回测
- Kelly 准则，效用函数（CRRA、CARA）
- 最优执行和市场微观结构：Almgren–Chriss、Avellaneda–Stoikov，限价订单簿
这张清单很长，但不少条目可以用书里的工具自己搭起来。
Crank–Nicolson 每一步要解一个三对角方程组，用的就是第 5 章的 LU 分解。Markowitz 是第 12 章的 KKT 条件加一个协方差矩阵。HJB 是第 15 章的 Bellman 方程，让时间步长趋于零，再用上第 19 章的伊藤引理。
工具在书里。怎么用到金融上，要看金融的书。A 到 C 可以读 Shreve，D 读 Brigo–Mercurio，E 读 Glasserman，F 读 Tsay。
如果我是 MFE 学生¶
各个学校的 MFE 课表不太一样，但核心课大同小异。我按常见的几类课，把书的章节排了一下。
| MFE 常见课程 | 配读章节 | 为什么 |
|---|---|---|
| 金融统计、计量 | 2、7、8、13 | 协方差、PCA、极大似然 |
| 金融计算、数值方法 | 4、5、15 | 数值秩、LU、动态规划 |
| 金融机器学习 | 11、12、14、15 | 反向传播、优化、交叉熵、强化学习 |
| 随机微积分、衍生品定价 | 19、20、21 | 伊藤引理、SDE、Fokker–Planck |
| 金融优化、组合管理 | 12 | 凸性、对偶、KKT |
| 深度学习选修 | 16、17、18 | 变分推断、得分函数、Langevin |
几句补充。
定价代码里很多数值问题，查到最后是条件数的问题。第 4 章讲数值秩，就是讲这个。
随机微积分是和这本书最贴近的一门课。同时读第 19 到 21 章，会读得很快，而且会从另一个方向再看一遍 Black–Scholes 偏微分方程背后的那些 SDE。
第 16 到 18 章，是大多数 MFE 课表之外的一步。面试的时候，能讲清楚扩散模型为什么有效、又能把它和 Girsanov 连起来的候选人，不多。
结语¶
两个圆的地基是同一套数学：线性代数、概率、优化、随机微积分。
分开的地方在于各自要回答的问题。金融工程在 $\mathbb{Q}$ 下定价、对冲，AI 在数据的分布下拟合、生成。
书管中间和右边。左边那张清单，还得在 MFE 的课堂上一项一项学。